Cosmology
0: intro
In fact, the Big Bang theory has nothing at all to say about the birth of the universe. There is a very simple answer to the question “how did the universe begin?” which is “we don’t know"
相较之下，我们的宇宙起源神话在尺度上要谦逊得多。它仅仅告诉我们，当宇宙年轻得多时，它是什么样子的。我们的故事从一个简单的观测事实开始：宇宙正在膨胀。这当然意味着，在更早的时期，一切都更加靠近。我们将这一观测推向极限：当物体被迫挤得更近时，它们会变得更热。大爆炸理论假设，在久远的过去，有一个时刻宇宙热得难以想象，以至于物质、原子，甚至原子核都被熔化，整个空间被一个火球所充满。大爆炸理论是一组思想、计算和预言，用以解释在这个火球中发生的事情，以及它如何演化成我们今天看到的宇宙。
“大爆炸理论”中的“理论”一词似乎暗示着某种怀疑成分。但这种理解是误导性的。大爆炸理论之所以被称为理论，与进化论被称为理论的方式相同。换句话说，它确实发生了。我们知道宇宙曾被一个火球充满，其原因非常简单：我们已经看到了它。事实上，我们不仅看到了它，还为它拍下了“照片”。当然，作为科学界，我们并不喜欢对此大肆炫耀，所以我们不会跳来跳去喊着“我们拍到他妈的大爆炸照片了！”。我们更倾向于将其包装成乏味的技术术语：我们称之为宇宙微波背景辐射。
当我们一步步向那个被俗称但并不准确地称为“t = 0”的时刻——“大爆炸”——回溯时，宇宙的温度不断升高，所涉及的能量也变得越来越高。宇宙学的目标之一，就是尽可能向时间的最早期推进，尽可能接近那个神秘的“t = 0”时刻。在这方面取得的进展可谓惊人。
正如我们将要看到的，我们对于大爆炸后一两分钟内发生的事情已经有非常清晰的认识：关于早期宇宙中不同元素的锻造方式，我们可以进行详细的计算，并且它们与观测结果完全一致。随着我们进一步向早期探索，可获得的观测证据变得更加稀少，但粒子物理理论使我们有理由对直到大爆炸后约 t = 10⁻¹² 秒的时期保持相当程度的信心。
正如我们将会看到的，我们也有充分理由相信，在更早的时期，宇宙经历过一段极其迅速的膨胀期，即所谓的暴胀。谈论宇宙在仅仅几分钟大时的状态本已显得怪异，更不用说讨论 t < 10⁻¹² 秒时的宇宙了。然而，宇宙中仍然保留着许多关于这些早期时刻的线索，而通过将一些简单且经过充分验证的物理理念应用于这一极端环境，我们能够以惊人的精确度解释所有这些线索。
这些讲义的目的，就是对上述故事进行较为详细的讲述，描述长达 138 亿年的宇宙历史——从宇宙只有不到一秒大的那一刻开始，一直延续到今天。
1: expanding universe
本节的目标颇为雄心勃勃：我们希望建立并求解描述整个宇宙演化的方程。
在物理学中描述任何系统时，诀窍都在于选择合适的自由度。好的变量选择能够抓住问题的核心，同时忽略所有无关的细节。宇宙也不例外。为了激发我们对变量选择的直觉，我们做出如下假设：宇宙是一个乏味且毫无特征的地方。为了给这个想法注入一些严肃性，我们将其提升为一个听起来很重要的原理：
宇宙学原理：在最大的尺度上，宇宙在空间上是均匀且各向同性的。
这里，均匀性（homogeneity）指宇宙在空间的每一点看起来都一样；各向同性（isotropy）指在任意方向看起来都一样。需要注意的是，宇宙学原理只涉及空间。宇宙在时间上既不均匀也不各向同性，而这一事实正是本课程的核心。
为什么要做出这个假设？主要原因是实用性：现实中的宇宙非常复杂，其间发生着许多有趣的事情。但这些事情属于其他课程的讨论范围，在这里我们最好忽略它们。通过对这些细枝末节进行平均化处理，我们可以得到对最大尺度宇宙的描述，而在这些尺度上事情很简单。
这种平均会忽略许多小事，例如我的日常作息，而这些显然很难具有宇宙学意义。然而，它也会忽略较大的结构，例如宇宙中星系的分布，而这些似乎更为相关。我们的计划是，先在简单性的假设下推进，随后在第 3 节讨论如何开始加入这些细节。
宇宙学原理听起来相当合理。自哥白尼以来，我们知道尽管我们生活在一个特殊的地方，但我们并不是万物的中心。宇宙学原理让我们保留一丝重要感：如果我们不是中心，那么别人也不是。然而，任何听起来宏大的原理都值得谨慎。物理学是一门经验科学，在最近几十年中，我们的技术发展到了可以检验宇宙学原理的程度。幸运的是，它经受住了检验。主要有两类证据：
宇宙微波背景辐射（CMB）是大爆炸的余辉，它是一片几乎均匀的光子海，充满整个空间，向我们呈现了约 140 亿年前宇宙的快照。这一点非常重要，并将在第 2.2 节中进一步讨论。CMB 的温度为 TCMB≈2.73 KT_{\rm CMB} \approx 2.73\ \text{K}TCMB≈2.73 K
然而，它并非完全均匀。温度存在微小涨落，其典型幅度为
δTTCMB∼10−5\frac{\delta T}{T_{\rm CMB}} \sim 10^{-5}TCMBδT∼10−5
这些涨落呈现在著名的图 1 中的照片中，该照片由普朗克卫星拍摄。温度涨落如此之小告诉我们：早期宇宙极其平滑。
• 多项红移巡天项目绘制了包含数十万个星系的三维分布图，范围延伸至约 2×1092 \times 10^{9}2×109 光年。证据显示，尽管在小尺度上存在团簇结构，但在大于约 3×1083 \times 10^{8}3×108 光年的尺度上，星系的分布大致是均匀的。图 2 给出了此类星系巡天的一个例子。
1.1
下面是对 David Tong《Cosmology》讲义第 1.1 节（The Geometry of Spacetime）的结构化总结。这一节的目标是：在不使用爱因斯坦方程的前提下，仅凭对称性与几何，建立描述宇宙整体的时空框架，并引入所有后续宇宙学观测量的几何基础。
1.1 节的逻辑结构总览
宇宙学原理 → 允许的空间几何
三种均匀各向同性空间（(k=+1,0,-1)）
FRW 度规：把时间加入进来
共动坐标、物理距离与哈勃膨胀
红移：光在膨胀时空中的传播
大爆炸、粒子视界与事件视界
共形时间与因果结构
为什么“距离”本身是有歧义的
下面逐点展开。
允许的空间几何：均匀 + 各向同性
1️⃣ 宇宙学原理
均匀性（homogeneity）：任意空间点看起来一样
各向同性（isotropy）：任意方向看起来一样
只作用于空间，不作用于时间
2️⃣ 结论（强约束）
满足上述条件的三维空间只有三类：
(+1)
三维球面 (S^3)
正曲率，体积有限
(0)
欧几里得空间 (\mathbb R^3)
平直
(-1)
双曲空间 (H^3)
负曲率，体积无限
并给出统一写法的空间度规： [ ds^2=\frac{dr^2}{1-k r^2/R^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta,d\phi^2) ]
或等价的 (\chi) 坐标形式： [ ds^2=R^2\left[d\chi^2+S_k^2(\chi)d\Omega_2^2\right] ]
FRW 度规：宇宙的时空几何
1️⃣ 把时间加入空间
得到 FRW（Friedmann–Robertson–Walker）度规： [ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\Bigg[ \frac{dr^2}{1-k r^2/R^2}+r^2d\Omega_2^2 \Bigg] ]
(a(t))：尺度因子，唯一描述宇宙整体演化的自由函数
(k)：空间曲率类型
FRW 度规不是洛伦兹不变的 → 宇宙选择了“共动参考系”
共动坐标、物理距离与哈勃定律
1️⃣ 共动坐标
星系若仅随宇宙膨胀运动，则其 ((r,\theta,\phi)) 不变
类似流体中的拉格朗日坐标
2️⃣ 物理距离
[ d_{\text{phys}}(t)=a(t)R\chi ]
膨胀不是“飞离中心”
而是 空间尺度本身在增长
3️⃣ 哈勃定律的几何起源
[ v_{\text{phys}}=H(t)x_{\text{phys}}+v_{\text{pec}} ]
(H=\dot a/a)
(v_{\text{pec}})：本动速度
超光速退行 不违反相对论（不是局域相对速度）
红移：膨胀几何的直接后果
1️⃣ 光沿零测地线
[ ds^2=0 \Rightarrow cdt=\pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-k r^2/R^2}} ]
2️⃣ 关键结论
[ \frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)} \quad\Rightarrow\quad \lambda_0=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}\lambda_1 ]
3️⃣ 红移定义
[ 1+z=\frac{1}{a(t_1)} ]
红移是几何效应
不是普通多普勒效应
与 (\dot a) 无关，只与整体膨胀有关
大爆炸与宇宙视界
1️⃣ 大爆炸
定义为：(a(t_{BB})=0)
是时间点，不是空间位置
FRW 在此失效（经典奇点）
2️⃣ 粒子视界（observable universe）
[ d_H(t)=c,a(t)\int_{t_{BB}}^t\frac{dt'}{a(t')} ]
决定今天最多能看到多远
3️⃣ 事件视界
[ c\int_t^{\infty}\frac{dt'}{a(t')} ]
若收敛，则存在永远无法影响的区域
与宇宙加速膨胀密切相关（de Sitter）
共形时间：因果结构的利器
定义： [ \tau=\int^t\frac{dt'}{a(t')} ]
在 ((\tau,\chi)) 坐标下：
光线是 45° 直线
因果结构直观清晰
粒子视界与事件视界几何上可视化
为什么“距离”本身是模糊的？
已定义的距离
共动距离 (R\chi)
物理距离 (a(t)R\chi)
问题在于
(d_{\text{phys}}(t)) 是等时切片上的几何量
实际测量只能沿光锥
若要直接测量，需要：
冻结整个宇宙膨胀 + 拉一把 Mpc 级卷尺 ——物理上不可能
结论
宇宙学中“距离”必须通过光来定义 → 引出后续的光度距离、角直径距离等
1.1 节的真正作用（定位）
不是讲动力学（那是 1.2）
而是：
建立 FRW 几何舞台
明确什么是可观测量
理解因果、视界、红移、距离的本质
下面我系统性地总结 David Tong 这份 cosmology notes 的第 1.2 小节（The Dynamics of Spacetime），目标是把物理逻辑说清楚，而不是复述公式。整体结构我会按**“问题 → 建模 → 方程 → 物理含义”**来组织。
本小节的核心问题只有一个： 宇宙为什么会以某种方式膨胀？a(t) 由什么决定？
（内容依据 Tong《Cosmology》1.2 节 ）
1.2 在整门课中的位置
在 1.1 中你已经学到：
在宇宙学原理（均匀 + 各向同性）下
时空几何只能是 FRW 度规
宇宙的全部演化被压缩进一个函数： [ a(t) ]
但 1.1 只回答了「几何上允许什么样的宇宙」， 1.2 要回答的是：
在给定物质内容的情况下，a(t) 会怎样演化？
这是 GR 的那句名言：
Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.
宇宙里装的是什么？——Perfect Fluid 模型
1️⃣ 为什么用「流体」描述宇宙？
在宇宙学尺度上：
星系、暗物质、辐射
全部被粗粒化（averaging）
只保留：
能量密度 ( \rho(t) )
压强 ( P(t) )
这就是 perfect fluid（理想流体）。
这是 cosmology 中极其重要的一步简化。
2️⃣ 方程状态：( P = w\rho )
Tong 强调： 大多数宇宙成分都可以用一个参数 ( w ) 描述：
[ P = w \rho ]
这不是假设，而是来自粒子运动学极限：
▶ 非相对论极限（dust / matter）
( pc \ll mc^2 )
能量几乎全是静质量
压强相比能量密度可忽略
[ w = 0 ]
例子：
星系
冷暗物质
中性原子气体
▶ 相对论极限（radiation）
( pc \gg mc^2 )
粒子速度 ( v \approx c )
压强不可忽略
[ w = \frac{1}{3} ]
例子：
光子（CMB）
引力波
高温时期的中微子
3️⃣ 一个重要的物理约束：因果性
声速平方： [ c_s^2 = c^2 \frac{dP}{d\rho} ]
要求： [ c_s \le c \quad \Rightarrow \quad w \le 1 ]
这在后面会限制允许的宇宙物质形态。
能量守恒在宇宙中长什么样？
这是 1.2 的核心物理公式。
1️⃣ 从「第一定律」出发
Tong 用一个非常诚实的 Newtonian 类比：
把宇宙中一个小的共动体积 ( V_0 )
物理体积： [ V(t) = a^3(t) V_0 ]
第一定律（绝热）： [ dE = -P,dV ]
2️⃣ 推导出 Continuity Equation
代入： [ E = \rho a^3 V_0 ]
得到：
[ \boxed{ \dot\rho + 3H(\rho + P) = 0 } ]
这就是 宇宙学中的能量守恒方程。
3️⃣ 这个式子的物理意义（非常重要）
把它拆开看：
▶ ( \dot\rho )
能量密度随时间变化
▶ ( 3H\rho )
体积膨胀导致的「稀释」
▶ ( 3HP )
压强做功项
是 relativistic cosmology 的关键
👉 压强也参与引力与能量演化
不同物质如何随膨胀衰减？
把 ( P = w\rho ) 代入：
[ \dot\rho + 3H\rho(1+w) = 0 ]
解得：
[ \boxed{ \rho \propto a^{-3(1+w)} } ]
这条公式非常非常重要。
具体例子
物质
0
( \rho_m \propto a^{-3} )
只因体积变大
辐射
1/3
( \rho_r \propto a^{-4} )
体积 + 红移
真空能
−1
( \rho_\Lambda = \text{const} )
压强做负功
⚠ 一个反直觉但正确的结论
宇宙膨胀时，能量密度不一定下降
例如： [ P = -\rho \quad \Rightarrow \quad \dot\rho = 0 ]
Tong 在这里特地提醒：
能量守恒在 GR 中不是你熟悉的那种
Noether 定理依赖时间平移对称性
FRW 宇宙没有这个对称性
👉 所以你要放弃“全宇宙总能量守恒”的直觉
1.2 真正想让你理解的三件事
如果只留三句话：
✅ 1. 宇宙的动力学完全由「物质内容」控制
给定 ( \rho(t), P(t) )，你就能算出 ( a(t) )
✅ 2. 压强和能量密度一样重要
在 relativistic cosmology 中 压强会引力、会做功、会影响膨胀
✅ 3. 宇宙膨胀 ≠ 能量密度必然下降
在 GR 中， 「能量守恒」的直觉必须被重新训练
为 1.3 做的铺垫
1.2 结束时，你已经有：
FRW 几何
物质的方程状态
能量守恒方程
下一步（1.3）就是：
把这些代入 Einstein 方程 → 得到 Friedmann 方程 → 解 ( a(t) )
也就是：
宇宙是减速？
加速？
会不会崩塌？
暗能量从哪来？
可以的。下面我把 弗里德曼方程（Friedmann equations） 按 Tong 在 1.2 → 1.3 过渡时的用法，干净地写出来，并顺手点明每一项的物理意义。
第一弗里德曼方程（约束方程）
[
\boxed{
H^2
;\equiv;
\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2
\frac{8\pi G}{3},\rho ;-; \frac{k}{a^2} ;+; \frac{\Lambda}{3} } ]
各项含义（非常重要）
(H=\dot a/a)：膨胀率
(\rho)：总能量密度（物质 + 辐射 + 暗能量等）
(-k/a^2)：空间曲率项
(k=+1,0,-1)（闭 / 平 / 开）
(\Lambda/3)：宇宙学常数（真空能）
这条方程告诉你： “宇宙此刻膨胀得多快” 是由 能量密度 + 曲率 + 真空能 共同决定的。
第二弗里德曼方程（加速方程）
[
\boxed{
\frac{\ddot a}{a}
-\frac{4\pi G}{3},(\rho + 3P) ;+; \frac{\Lambda}{3} } ]
这是物理上最有冲击力的一条
它直接告诉你：
不是只有能量密度引力
压强 (P) 也会引力
而且是以 (\rho+3P) 的形式出现
为什么说“压强也会引力”？
看这条式子：
[ \rho + 3P ]
非相对论物质：(P\approx 0) [ \Rightarrow \ddot a < 0 \quad (\text{减速}) ]
辐射：(P=\rho/3) [ \Rightarrow \rho+3P=2\rho \quad (\text{更强的减速}) ]
真空能：(P=-\rho) [ \Rightarrow \rho+3P=-2\rho \quad\Rightarrow\quad \ddot a > 0 ;(\text{加速}) ]
👉 这正是暗能量导致宇宙加速膨胀的根源
与 1.2 的连续性：不是“凭空出现”的
在 Tong 的逻辑里：
1.2：
给你 [ \dot\rho + 3H(\rho+P)=0 ] （continuity equation）
1.3：
加上 Einstein 方程
推出 Friedmann 方程
而且有一个关键关系：
第二弗里德曼方程 + 能量守恒 ⟹ 第一弗里德曼方程（差一个常数）
所以它们并不是独立的三条方程。
常见的等价写法（你以后一定会见到）
把 (\Lambda) 并入能量密度：
[ \rho_\Lambda = \frac{\Lambda}{8\pi G}, \qquad P_\Lambda = -\rho_\Lambda ]
则：
[ H^2 = \frac{8\pi G}{3}(\rho + \rho_\Lambda) - \frac{k}{a^2} ]
[ \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\sum_i(\rho_i + 3P_i) ]
用一句话概括两条方程的分工
第一弗里德曼方程： 给定宇宙内容 → 告诉你“现在膨胀多快”
第二弗里德曼方程： 告诉你“膨胀是在减速还是加速”，以及为什么
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