Cosmology
0: intro
In fact, the Big Bang theory has nothing at all to say about the birth of the universe. There is a very simple answer to the question “how did the universe begin?” which is “we don’t know"
相较之下，我们的宇宙起源神话在尺度上要谦逊得多。它仅仅告诉我们，当宇宙年轻得多时，它是什么样子的。我们的故事从一个简单的观测事实开始：宇宙正在膨胀。这当然意味着，在更早的时期，一切都更加靠近。我们将这一观测推向极限：当物体被迫挤得更近时，它们会变得更热。大爆炸理论假设，在久远的过去，有一个时刻宇宙热得难以想象，以至于物质、原子，甚至原子核都被熔化，整个空间被一个火球所充满。大爆炸理论是一组思想、计算和预言，用以解释在这个火球中发生的事情，以及它如何演化成我们今天看到的宇宙。
“大爆炸理论”中的“理论”一词似乎暗示着某种怀疑成分。但这种理解是误导性的。大爆炸理论之所以被称为理论，与进化论被称为理论的方式相同。换句话说，它确实发生了。我们知道宇宙曾被一个火球充满，其原因非常简单：我们已经看到了它。事实上，我们不仅看到了它，还为它拍下了“照片”。当然，作为科学界，我们并不喜欢对此大肆炫耀，所以我们不会跳来跳去喊着“我们拍到他妈的大爆炸照片了！”。我们更倾向于将其包装成乏味的技术术语：我们称之为宇宙微波背景辐射。
当我们一步步向那个被俗称但并不准确地称为“t = 0”的时刻——“大爆炸”——回溯时，宇宙的温度不断升高，所涉及的能量也变得越来越高。宇宙学的目标之一，就是尽可能向时间的最早期推进，尽可能接近那个神秘的“t = 0”时刻。在这方面取得的进展可谓惊人。
正如我们将要看到的，我们对于大爆炸后一两分钟内发生的事情已经有非常清晰的认识：关于早期宇宙中不同元素的锻造方式，我们可以进行详细的计算，并且它们与观测结果完全一致。随着我们进一步向早期探索，可获得的观测证据变得更加稀少，但粒子物理理论使我们有理由对直到大爆炸后约 t = 10⁻¹² 秒的时期保持相当程度的信心。
正如我们将会看到的，我们也有充分理由相信，在更早的时期，宇宙经历过一段极其迅速的膨胀期，即所谓的暴胀。谈论宇宙在仅仅几分钟大时的状态本已显得怪异，更不用说讨论 t < 10⁻¹² 秒时的宇宙了。然而，宇宙中仍然保留着许多关于这些早期时刻的线索，而通过将一些简单且经过充分验证的物理理念应用于这一极端环境，我们能够以惊人的精确度解释所有这些线索。
这些讲义的目的，就是对上述故事进行较为详细的讲述，描述长达 138 亿年的宇宙历史——从宇宙只有不到一秒大的那一刻开始，一直延续到今天。
1: expanding universe
本节的目标颇为雄心勃勃：我们希望建立并求解描述整个宇宙演化的方程。
在物理学中描述任何系统时，诀窍都在于选择合适的自由度。好的变量选择能够抓住问题的核心，同时忽略所有无关的细节。宇宙也不例外。为了激发我们对变量选择的直觉，我们做出如下假设：宇宙是一个乏味且毫无特征的地方。为了给这个想法注入一些严肃性，我们将其提升为一个听起来很重要的原理：
宇宙学原理：在最大的尺度上，宇宙在空间上是均匀且各向同性的。
这里，均匀性（homogeneity）指宇宙在空间的每一点看起来都一样；各向同性（isotropy）指在任意方向看起来都一样。需要注意的是，宇宙学原理只涉及空间。宇宙在时间上既不均匀也不各向同性，而这一事实正是本课程的核心。
为什么要做出这个假设？主要原因是实用性：现实中的宇宙非常复杂，其间发生着许多有趣的事情。但这些事情属于其他课程的讨论范围，在这里我们最好忽略它们。通过对这些细枝末节进行平均化处理，我们可以得到对最大尺度宇宙的描述，而在这些尺度上事情很简单。
这种平均会忽略许多小事，例如我的日常作息，而这些显然很难具有宇宙学意义。然而，它也会忽略较大的结构，例如宇宙中星系的分布，而这些似乎更为相关。我们的计划是，先在简单性的假设下推进，随后在第 3 节讨论如何开始加入这些细节。
宇宙学原理听起来相当合理。自哥白尼以来，我们知道尽管我们生活在一个特殊的地方，但我们并不是万物的中心。宇宙学原理让我们保留一丝重要感：如果我们不是中心，那么别人也不是。然而，任何听起来宏大的原理都值得谨慎。物理学是一门经验科学，在最近几十年中，我们的技术发展到了可以检验宇宙学原理的程度。幸运的是，它经受住了检验。主要有两类证据：
宇宙微波背景辐射（CMB）是大爆炸的余辉，它是一片几乎均匀的光子海，充满整个空间，向我们呈现了约 140 亿年前宇宙的快照。这一点非常重要，并将在第 2.2 节中进一步讨论。CMB 的温度为 TCMB≈2.73 KT_{\rm CMB} \approx 2.73\ \text{K}TCMB≈2.73 K
然而，它并非完全均匀。温度存在微小涨落，其典型幅度为
δTTCMB∼10−5\frac{\delta T}{T_{\rm CMB}} \sim 10^{-5}TCMBδT∼10−5
这些涨落呈现在著名的图 1 中的照片中，该照片由普朗克卫星拍摄。温度涨落如此之小告诉我们：早期宇宙极其平滑。
• 多项红移巡天项目绘制了包含数十万个星系的三维分布图，范围延伸至约 2×1092 \times 10^{9}2×109 光年。证据显示，尽管在小尺度上存在团簇结构，但在大于约 3×1083 \times 10^{8}3×108 光年的尺度上，星系的分布大致是均匀的。图 2 给出了此类星系巡天的一个例子。
1.1
下面是对 David Tong《Cosmology》讲义第 1.1 节（The Geometry of Spacetime）的结构化总结。这一节的目标是：在不使用爱因斯坦方程的前提下，仅凭对称性与几何，建立描述宇宙整体的时空框架，并引入所有后续宇宙学观测量的几何基础。
1.1 节的逻辑结构总览
宇宙学原理 → 允许的空间几何
三种均匀各向同性空间（(k=+1,0,-1)）
FRW 度规：把时间加入进来
共动坐标、物理距离与哈勃膨胀
红移：光在膨胀时空中的传播
大爆炸、粒子视界与事件视界
共形时间与因果结构
为什么“距离”本身是有歧义的
下面逐点展开。
允许的空间几何：均匀 + 各向同性
1️⃣ 宇宙学原理
均匀性（homogeneity）：任意空间点看起来一样
各向同性（isotropy）：任意方向看起来一样
只作用于空间，不作用于时间
2️⃣ 结论（强约束）
满足上述条件的三维空间只有三类：
(+1)
三维球面 (S^3)
正曲率，体积有限
(0)
欧几里得空间 (\mathbb R^3)
平直
(-1)
双曲空间 (H^3)
负曲率，体积无限
并给出统一写法的空间度规： [ ds^2=\frac{dr^2}{1-k r^2/R^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta,d\phi^2) ]
或等价的 (\chi) 坐标形式： [ ds^2=R^2\left[d\chi^2+S_k^2(\chi)d\Omega_2^2\right] ]
FRW 度规：宇宙的时空几何
1️⃣ 把时间加入空间
得到 FRW（Friedmann–Robertson–Walker）度规： [ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\Bigg[ \frac{dr^2}{1-k r^2/R^2}+r^2d\Omega_2^2 \Bigg] ]
(a(t))：尺度因子，唯一描述宇宙整体演化的自由函数
(k)：空间曲率类型
FRW 度规不是洛伦兹不变的 → 宇宙选择了“共动参考系”
共动坐标、物理距离与哈勃定律
1️⃣ 共动坐标
星系若仅随宇宙膨胀运动，则其 ((r,\theta,\phi)) 不变
类似流体中的拉格朗日坐标
2️⃣ 物理距离
[ d_{\text{phys}}(t)=a(t)R\chi ]
膨胀不是“飞离中心”
而是 空间尺度本身在增长
3️⃣ 哈勃定律的几何起源
[ v_{\text{phys}}=H(t)x_{\text{phys}}+v_{\text{pec}} ]
(H=\dot a/a)
(v_{\text{pec}})：本动速度
超光速退行 不违反相对论（不是局域相对速度）
红移：膨胀几何的直接后果
1️⃣ 光沿零测地线
[ ds^2=0 \Rightarrow cdt=\pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-k r^2/R^2}} ]
2️⃣ 关键结论
[ \frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)} \quad\Rightarrow\quad \lambda_0=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}\lambda_1 ]
3️⃣ 红移定义
[ 1+z=\frac{1}{a(t_1)} ]
红移是几何效应
不是普通多普勒效应
与 (\dot a) 无关，只与整体膨胀有关
大爆炸与宇宙视界
1️⃣ 大爆炸
定义为：(a(t_{BB})=0)
是时间点，不是空间位置
FRW 在此失效（经典奇点）
2️⃣ 粒子视界（observable universe）
[ d_H(t)=c,a(t)\int_{t_{BB}}^t\frac{dt'}{a(t')} ]
决定今天最多能看到多远
3️⃣ 事件视界
[ c\int_t^{\infty}\frac{dt'}{a(t')} ]
若收敛，则存在永远无法影响的区域
与宇宙加速膨胀密切相关（de Sitter）
共形时间：因果结构的利器
定义： [ \tau=\int^t\frac{dt'}{a(t')} ]
在 ((\tau,\chi)) 坐标下：
光线是 45° 直线
因果结构直观清晰
粒子视界与事件视界几何上可视化
为什么“距离”本身是模糊的？
已定义的距离
共动距离 (R\chi)
物理距离 (a(t)R\chi)
问题在于
(d_{\text{phys}}(t)) 是等时切片上的几何量
实际测量只能沿光锥
若要直接测量，需要：
冻结整个宇宙膨胀 + 拉一把 Mpc 级卷尺 ——物理上不可能
结论
宇宙学中“距离”必须通过光来定义 → 引出后续的光度距离、角直径距离等
1.1 节的真正作用（定位）
不是讲动力学（那是 1.2）
而是：
建立 FRW 几何舞台
明确什么是可观测量
理解因果、视界、红移、距离的本质
下面我系统性地总结 David Tong 这份 cosmology notes 的第 1.2 小节（The Dynamics of Spacetime），目标是把物理逻辑说清楚，而不是复述公式。整体结构我会按**“问题 → 建模 → 方程 → 物理含义”**来组织。
本小节的核心问题只有一个： 宇宙为什么会以某种方式膨胀？a(t) 由什么决定？
（内容依据 Tong《Cosmology》1.2 节 ）
1.2 在整门课中的位置
在 1.1 中你已经学到：
在宇宙学原理（均匀 + 各向同性）下
时空几何只能是 FRW 度规
宇宙的全部演化被压缩进一个函数： [ a(t) ]
但 1.1 只回答了「几何上允许什么样的宇宙」， 1.2 要回答的是：
在给定物质内容的情况下，a(t) 会怎样演化？
这是 GR 的那句名言：
Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.
宇宙里装的是什么？——Perfect Fluid 模型
1️⃣ 为什么用「流体」描述宇宙？
在宇宙学尺度上：
星系、暗物质、辐射
全部被粗粒化（averaging）
只保留：
能量密度 ( \rho(t) )
压强 ( P(t) )
这就是 perfect fluid（理想流体）。
这是 cosmology 中极其重要的一步简化。
2️⃣ 方程状态：( P = w\rho )
Tong 强调： 大多数宇宙成分都可以用一个参数 ( w ) 描述：
[ P = w \rho ]
这不是假设，而是来自粒子运动学极限：
▶ 非相对论极限（dust / matter）
( pc \ll mc^2 )
能量几乎全是静质量
压强相比能量密度可忽略
[ w = 0 ]
例子：
星系
冷暗物质
中性原子气体
▶ 相对论极限（radiation）
( pc \gg mc^2 )
粒子速度 ( v \approx c )
压强不可忽略
[ w = \frac{1}{3} ]
例子：
光子（CMB）
引力波
高温时期的中微子
3️⃣ 一个重要的物理约束：因果性
声速平方： [ c_s^2 = c^2 \frac{dP}{d\rho} ]
要求： [ c_s \le c \quad \Rightarrow \quad w \le 1 ]
这在后面会限制允许的宇宙物质形态。
能量守恒在宇宙中长什么样？
这是 1.2 的核心物理公式。
1️⃣ 从「第一定律」出发
Tong 用一个非常诚实的 Newtonian 类比：
把宇宙中一个小的共动体积 ( V_0 )
物理体积： [ V(t) = a^3(t) V_0 ]
第一定律（绝热）： [ dE = -P,dV ]
2️⃣ 推导出 Continuity Equation
代入： [ E = \rho a^3 V_0 ]
得到：
[ \boxed{ \dot\rho + 3H(\rho + P) = 0 } ]
这就是 宇宙学中的能量守恒方程。
3️⃣ 这个式子的物理意义（非常重要）
把它拆开看：
▶ ( \dot\rho )
能量密度随时间变化
▶ ( 3H\rho )
体积膨胀导致的「稀释」
▶ ( 3HP )
压强做功项
是 relativistic cosmology 的关键
👉 压强也参与引力与能量演化
不同物质如何随膨胀衰减？
把 ( P = w\rho ) 代入：
[ \dot\rho + 3H\rho(1+w) = 0 ]
解得：
[ \boxed{ \rho \propto a^{-3(1+w)} } ]
这条公式非常非常重要。
具体例子
物质
0
( \rho_m \propto a^{-3} )
只因体积变大
辐射
1/3
( \rho_r \propto a^{-4} )
体积 + 红移
真空能
−1
( \rho_\Lambda = \text{const} )
压强做负功
⚠ 一个反直觉但正确的结论
宇宙膨胀时，能量密度不一定下降
例如： [ P = -\rho \quad \Rightarrow \quad \dot\rho = 0 ]
Tong 在这里特地提醒：
能量守恒在 GR 中不是你熟悉的那种
Noether 定理依赖时间平移对称性
FRW 宇宙没有这个对称性
👉 所以你要放弃“全宇宙总能量守恒”的直觉
1.2 真正想让你理解的三件事
如果只留三句话：
✅ 1. 宇宙的动力学完全由「物质内容」控制
给定 ( \rho(t), P(t) )，你就能算出 ( a(t) )
✅ 2. 压强和能量密度一样重要
在 relativistic cosmology 中 压强会引力、会做功、会影响膨胀
✅ 3. 宇宙膨胀 ≠ 能量密度必然下降
在 GR 中， 「能量守恒」的直觉必须被重新训练
为 1.3 做的铺垫
1.2 结束时，你已经有：
FRW 几何
物质的方程状态
能量守恒方程
下一步（1.3）就是：
把这些代入 Einstein 方程 → 得到 Friedmann 方程 → 解 ( a(t) )
也就是：
宇宙是减速？
加速？
会不会崩塌？
暗能量从哪来？
可以的。下面我把 弗里德曼方程（Friedmann equations） 按 Tong 在 1.2 → 1.3 过渡时的用法，干净地写出来，并顺手点明每一项的物理意义。
第一弗里德曼方程（约束方程）
[
\boxed{
H^2
;\equiv;
\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2
\frac{8\pi G}{3},\rho ;-; \frac{k}{a^2} ;+; \frac{\Lambda}{3} } ]
各项含义（非常重要）
(H=\dot a/a)：膨胀率
(\rho)：总能量密度（物质 + 辐射 + 暗能量等）
(-k/a^2)：空间曲率项
(k=+1,0,-1)（闭 / 平 / 开）
(\Lambda/3)：宇宙学常数（真空能）
这条方程告诉你： “宇宙此刻膨胀得多快” 是由 能量密度 + 曲率 + 真空能 共同决定的。
第二弗里德曼方程（加速方程）
[
\boxed{
\frac{\ddot a}{a}
-\frac{4\pi G}{3},(\rho + 3P) ;+; \frac{\Lambda}{3} } ]
这是物理上最有冲击力的一条
它直接告诉你：
不是只有能量密度引力
压强 (P) 也会引力
而且是以 (\rho+3P) 的形式出现
为什么说“压强也会引力”？
看这条式子：
[ \rho + 3P ]
非相对论物质：(P\approx 0) [ \Rightarrow \ddot a < 0 \quad (\text{减速}) ]
辐射：(P=\rho/3) [ \Rightarrow \rho+3P=2\rho \quad (\text{更强的减速}) ]
真空能：(P=-\rho) [ \Rightarrow \rho+3P=-2\rho \quad\Rightarrow\quad \ddot a > 0 ;(\text{加速}) ]
👉 这正是暗能量导致宇宙加速膨胀的根源
与 1.2 的连续性：不是“凭空出现”的
在 Tong 的逻辑里：
1.2：
给你 [ \dot\rho + 3H(\rho+P)=0 ] （continuity equation）
1.3：
加上 Einstein 方程
推出 Friedmann 方程
而且有一个关键关系：
第二弗里德曼方程 + 能量守恒 ⟹ 第一弗里德曼方程（差一个常数）
所以它们并不是独立的三条方程。
常见的等价写法（你以后一定会见到）
把 (\Lambda) 并入能量密度：
[ \rho_\Lambda = \frac{\Lambda}{8\pi G}, \qquad P_\Lambda = -\rho_\Lambda ]
则：
[ H^2 = \frac{8\pi G}{3}(\rho + \rho_\Lambda) - \frac{k}{a^2} ]
[ \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\sum_i(\rho_i + 3P_i) ]
用一句话概括两条方程的分工
第一弗里德曼方程： 给定宇宙内容 → 告诉你“现在膨胀多快”
第二弗里德曼方程： 告诉你“膨胀是在减速还是加速”，以及为什么
第二弗里德曼方程是由第一求导得来的
下面按讲义的结构，把 1.3 Cosmological Solutions 尽可能详细地梳理一遍（含关键方程、典型解、物理含义与历史背景）。
1.3 总览：要解什么方程
这一节的起点是：FRW 宇宙的演化由三件套封闭描述——
Friedmann 方程 [ H^2\equiv \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho-\frac{k c^2}{R^2 a^2} ]
连续性方程（能量守恒的宇宙学形式） [ \dot\rho+3H(\rho+P)=0 ]
状态方程 (P=w\rho)
并且不同组分（不同 (w)）的能量密度随尺度因子独立标度： [ \rho_w=\rho_{w,0},a^{-3(1+w)} ]
这一节先研究“设计宇宙”（单一组分、或加上曲率/Λ），为 1.4 的“真实宇宙”做铺垫。
1.3.1 Simple Solutions：平直宇宙 + 单一流体的幂律解
(A) 一般幂律解（(k=0)、单一 (w)）
在 (k=0) 且只有一种流体时，Friedmann 方程可化为 [ \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{D^2}{a^{3(1+w)}} ] 并得到标准幂律解 [ a(t)=\left(\frac{t}{t_0}\right)^{\frac{2}{3(1+w)}} ] 这里用积分常数把 大爆炸时刻选为 (t_{\rm BB}=0)，并令 (a(t_0)=1)，从而 (t_0) 就是“宇宙年龄”的参数化表示。
(B) Dust（物质主导，(w=0)）：Einstein–de Sitter
[ a(t)=\left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3} ] 称为 Einstein–de Sitter 宇宙。 它给出 [ H_0=\frac{2}{3t_0}\quad\Rightarrow\quad t_0=\frac{2}{3}H_0^{-1} ] 并用观测 (H_0\approx 70,{\rm km,s^{-1},Mpc^{-1}}) 得到 (t_0\sim 9\times 10^9) 年（讲义指出这会与恒星年龄有张力）。 同时物质密度随时间 [ \rho(t)\propto \frac{1}{t^2} ] 并且与 (t_0) 存在直接关系。
(C) Radiation（辐射主导，(w=1/3)）
[ a(t)=\left(\frac{t}{t_0}\right)^{1/2},\qquad t_0=\frac{1}{2}H_0^{-1} ] 且辐射密度同样 (\rho(t)\propto 1/t^2)（系数不同）。
(D) “曲率当作流体”（有效 (w=-1/3) 的观点）
讲义强调：Friedmann 中的曲率项 (\propto 1/a^2) 等效于一种满足 (\rho_k\propto a^{-2}) 的“流体”，对应 (w=-1/3)。 这为后面“曲率终将主导晚期演化”的直觉做准备。
(E) 强能量条件、宇宙年龄上界与事件视界（紧接在 1.3.2 前的关键插曲）
讲义用加速度方程/强能量条件给出一个经典结论：若 (\ddot a\le 0)（强能量条件成立），那么从几何图像可推出 [ t_0-t_{\rm BB}\le H_0^{-1} ] 即宇宙年龄有上界；若违反强能量条件导致 (\ddot a>0)，上述论证不再成立。
接着讨论 宇宙事件视界：是否存在视界取决于 [ \int_t^\infty \frac{dt'}{a(t')} ] 是否收敛；对单一组分幂律 (a\sim t^{2/(3+3w)})，可得 当 (w<-1/3) 时积分收敛，存在事件视界；当 (w\ge -1/3) 时不存在事件视界。 讲义把它与“晚期是否加速膨胀”直接联系起来：加速膨胀（(w<-1/3)）⇒ 宇宙事件视界出现。
1.3.2 Curvature and the Fate of the Universe：曲率与宇宙命运
(A) 平直宇宙的“特殊性”
若 (k=0)，Friedmann 在今天给出严格关系 [ H_0^2=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho_0 ] 意味着“要刚好平直”，今天的总能量密度必须与 (H_0) 精确匹配。讲义指出：原则上可通过测 (H_0) 再“盘点宇宙能量”来检验平直，但现实中大量能量是“不可见的”，因此并不容易。
(B) 曲率为何会在晚期变得重要
把曲率视作 (\rho_k\sim a^{-2})，而物质 (\rho_m\sim a^{-3})。因此即便早期 (\rho_m\gg \rho_k)，随着膨胀，(\rho_m) 下降更快，曲率最终会追上并主导晚期动力学。
(C) 物质 + 曲率的精确解：用共形时间参数化
讲义给出一个“惊喜”：物质（(w=0)）加曲率时，Friedmann 仍可精确求解。关键技巧是引入共形时间 [ d\tau=\frac{dt}{a(t)} ] 并定义无量纲 (\tilde\tau=c\tau/R)，以及 (h=a'/a)（撇表示对 (\tilde\tau) 求导）。在这些变量下方程简化，得到 [ h(\tilde\tau)= \begin{cases} \cot(\tilde\tau/2), & k=+1\ 2/\tilde\tau, & k=0\ \coth(\tilde\tau/2), & k=-1 \end{cases} ] 进而 [ a(\tilde\tau)=A\times \begin{cases} \sin^2(\tilde\tau/2), & k=+1\ \tilde\tau^2, & k=0\ \sinh^2(\tilde\tau/2), & k=-1 \end{cases} ] 并且 (t(\tilde\tau)) 的参数化形式也给出。
物理图像非常清晰：
(k=+1)（正曲率）会停止膨胀并 回塌，在有限共形时间处发生 Big Crunch；
(k=-1)（负曲率）永远膨胀；
(k=0) 是两者分界。
(D) 两个“教训”与重要 caveat
平直宇宙在动力学上“不稳定”：任何微小初始曲率都会增长并在晚期主导（类比“铅笔尖上平衡”）。
“曲率决定命运”的说法有 caveat：上述结论依赖“主导成分是物质、且所有能量都稀释得比曲率更快”。如果存在更“怪”的流体（例如接下来要讲的 Λ），命运判断将改变。
1.3.3 The Cosmological Constant：宇宙常数、de Sitter 与 Λ+物质
(A) 定义与基本性质：(w=-1)、(\rho_\Lambda=) 常数
宇宙常数（真空能）对应状态方程 [ w=-1,\qquad \rho_\Lambda=-P_\Lambda ] 并且由连续性方程推出 (\rho_\Lambda) 不随 (a(t)) 衰减（这在直觉上像“能量不守恒”，但讲义强调在时变背景下能量概念本就微妙，关键是连续性方程被满足）。
讲义同时解释“自然性”：在经典/量子力学里整体能量平移不影响物理，但在 GR 里“所有能量都引力耦合”，那个被我们以前忽略的常数项会以 Λ 的形式重返舞台，因此 Λ 也称真空能。 并给出 [ \rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G} ] （Λ 量纲为 ( {\rm time}^{-2})）。
(B) 含 Λ 的 Friedmann 方程
[ H^2=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho+\frac{\Lambda}{3}-\frac{k c^2}{R^2 a^2} ]
(C) 纯 Λ：de Sitter 空间（Λ>0，ρ=0）
对任意曲率 (k=\pm1,0)，都可解出 [ a(t)= \begin{cases} A\cosh(\sqrt{\Lambda/3},t), & k=+1\ A\exp(\sqrt{\Lambda/3},t), & k=0\ A\sinh(\sqrt{\Lambda/3},t), & k=-1 \end{cases} ] 并在大时间都呈指数膨胀。
讲义强调一个“坐标观”的点：这三种形式本质描述同一 de Sitter 时空的不同 slicing；其中 (k=+1) 的坐标覆盖更“完整”，并展示 (t<0) 收缩、(t>0) 加速膨胀，且 不存在真正的大爆炸 (a=0)；而 (k=0,-1) 的“起点奇点”是坐标奇点。
进一步，为理解因果结构与视界，讲义转向 (k=+1) 的共形时间形式，并写出 de Sitter 的共形时间度规与 Penrose/因果图（Figure 15），指出观察者同时有粒子视界与事件视界，“即使等待到无限远也有一部分时空永远不可见”。
(D) 物质 + Λ（平直 (k=0)）
对 (k=0)、(\rho=\rho_\Lambda+\rho_0/a^3)，讲义给出显式解 [ a(t)=\left(\frac{\rho_0}{\rho_\Lambda}\right)^{1/3}, \sinh^{2/3}!\left(\frac{\sqrt{3\Lambda},t}{2}\right) ]
并解释其物理极限：
早期 (a\sim t^{2/3})：回到 Einstein–de Sitter（物质主导）。
晚期 (a\sim e^{\sqrt{\Lambda/3},t})：趋向 de Sitter（Λ 主导）。
相等时刻 (t_{\rm eq}) 由 (\rho_\Lambda=\rho_0/a^3) 定义，并给出相应条件式。 同时强调：不像纯 de Sitter，这类“更复杂”的宇宙 不可避免地重新出现大爆炸奇点 (a(0)=0)。
(E) 历史插曲：Einstein 静态宇宙（不稳定）
Einstein 1917 为追求静态宇宙引入 Λ。讲义用加速度方程指出静态需要 (\rho=-3P)，单独物质或单独 Λ 都不行，但二者混合可满足 (\rho_m=2\rho_\Lambda)，并需 (k=+1) 的正曲率，得到 Einstein 静态宇宙及其半径条件；但该解 不稳定：(a) 略小就更小、略大就更大。
1.3.4 How We Found Our Place in the Universe：我们如何认识宇宙的尺度与膨胀
这一小节是“观测宇宙学思想史”的速写，用来解释：为何 20 世纪初人类才真正建立“宇宙学”的量级感与框架。
(A) 从日心说到“岛宇宙”
1543 Copernicus：我们不在宇宙中心。
1750 Thomas Wright：银河系是“扁平恒星层”，并猜测“旋涡星云”可能是遥远星系；同时也展示当时对星数的极大低估。
直到 1920，很多天文学家仍认为星云属于银河系；反对“岛宇宙”的理由是：若它们是独立星系，其距离将“不可思议地远”。
(B) 红移与哈勃：距离尺度被迫“变大”
Slipher 1912 首测红移，发现某些星云速度太大，不可能被银河系引力束缚，但他未完全意识到意义。
Hubble 1925 的数据使人信服星云在银河系之外（几十到上百 kpc 量级），1929 给出 (v=Hx) 关系并因此常被称为“发现宇宙膨胀”，但讲义也指出 Hubble 本人长期拒绝接受“膨胀解释”。
(C) 理论框架：GR、Λ、Lemaître、Robertson–Walker、Einstein–de Sitter
讲义强调“拼图由理论家补齐”：
1915 GR 提供讨论“整体宇宙”的框架；Einstein 1917 引入 Λ 得静态宇宙（对应前一节的 Einstein static）。
Lemaître 先于 Hubble 推出类似线性定律，但发表渠道与语言导致影响力滞后；他还提出“原初原子”（大爆炸思想雏形），并最早指出 Λ 应与真空能联系。
Robertson（1929）与 Walker（1935）完善并证明三类均匀各向同性空间的完备性（即 FRW/FLRW 的空间部分分类）。
1932 Einstein 与 de Sitter 给出只含物质的膨胀 FRW 解（即 1.3.1 的 Einstein–de Sitter），该模型在相当长时间内成为宇宙学标准，直到 1990s 末“宇宙常数/加速膨胀”被观测确立。
根据你上传的讲义 PDF（第 1.4 节 “Our Universe” 一段），你对 1.4 的结构理解是准确的：先给出真实宇宙的能量组成与观测值，然后分别讨论暗能量（问题）与暗物质（证据链）。下面我按讲义的 1.4.1 / 1.4.2 / 1.4.3 逐段“对齐式”详细总结，并把你点名要展开的 维里定理、子弹星系团、BBN/CMB都讲清楚。
1.4 开头：把“宇宙的成分”写进 Friedmann 方程
讲义先明确：我们需要的三类能量密度是
常规物质 ( \rho_m \propto a^{-3})
辐射 ( \rho_r \propto a^{-4})
宇宙常数（真空能） ( \rho_\Lambda = \text{const})
并用临界密度定义无量纲密度参数 [ \Omega_w \equiv \rho_{w,0}/\rho_{\text{crit},0} ] 把 Friedmann 方程写成 [ \left(\frac{H}{H_0}\right)^2=\frac{\Omega_r}{a^4}+\frac{\Omega_m}{a^3}+\frac{\Omega_k}{a^2}+\Omega_\Lambda ]
1.4.1 今天的能量预算：观测给出的“数字表”
1）宇宙今天由暗能量与物质主导
讲义给出两项主导成分的观测值： [ \Omega_\Lambda=0.69,\quad \Omega_m=0.31 ]
并指出暗能量有两条独立证据链：
高红移 Ia 型超新星（直接测膨胀史）
CMB + 星系分布（间接但“更干净”），并提到 BAO
2）其他项都很小：辐射、（曾相对论的）中微子、曲率
光子：(\Omega_\gamma \approx 5\times 10^{-5})
中微子：(\Omega_\nu \approx 3.4\times 10^{-5})（并强调“相对论→非相对论”导致“辐射/物质”分类随时间改变）
曲率：(|\Omega_k|<0.01)（无曲率证据）
3）时间尺度：物质–辐射相等、以及为何“平坦性”令人震惊
物质–辐射相等红移：(z_{\rm eq}\approx 3400)
对应时间量级：(\sim 5\times 10^4) 年
讲义强调：观测上几乎 (k=0)，而平坦宇宙在动力学上是“不稳定选择”，这会在 1.5 给出解释（暗示 inflation）
1.4.2 暗能量：不是“有了 Λ 就完事”，而是一堆深层问题
这一节的中心思想是：暗能量在观测上简单，但在理论上是“炸弹”。讲义主要抛出三类问题：
A）宇宙常数问题：QFT 的“自然尺度”完全不对
QFT 真空能来自所有模的零点能，频率积分表面上发散
采取“我们至少相信到 LHC 能标 (\sim 1) TeV”的保守截止，得到 [ \rho_{\rm QFT}\sim (10^{12}\text{ eV})^4 \approx 10^{60}\rho_\Lambda ] 并强调这在宇宙学上荒谬
B）精细调节：(\rho_\Lambda=\rho_{\rm QFT}+\rho_{\rm constant}) 的“60 位小数对齐”
讲义把它写成两项相加： [ \rho_\Lambda=\rho_{\rm QFT}+\rho_{\rm constant} ] 要得到观测的小 (\rho_\Lambda)，两项必须高度抵消，这就是 fine-tuning。
更狠的是：相变会让 (\rho_{\rm QFT}) 多次“跳变”，例如 QCD 相变 (\Delta\rho_{\rm QFT}\sim (100,\mathrm{MeV})^4)，电弱相变 (\sim (100,\mathrm{GeV})^4)，因此任何抵消机制必须在宇宙演化后期依然“持续对准”。
C）巧合问题 + 人择原理（讲义口吻很鲜明）
巧合问题：(\Omega_m) 与 (\Omega_\Lambda) 今天居然同量级，按尺度律本不该这样（讲义直接说“没好解释”）
人择：固定初始涨落 (\delta\rho/\rho\sim 10^{-5})，问“Λ 最大能多大还允许星系形成”；讲义声称结果“非常惊人”：观测到的真空能量密度几乎就是允许形成星系的最大值；若 (\rho_\Lambda) 再大一个数量级，星系就不形成 然后引出 multiverse/anthropic principle，并吐槽“缺乏可检验预测容易空谈”。
D）“Rebranding：Dark Energy”
讲义最后提醒：也许 (\rho_\Lambda) 不是严格常数，而是 (w\approx -1) 的流体、甚至 (w(t)) 演化（虽然没有强理论动机，也不解决 QFT 真空能为何不引力化的问题），因此把这 70% 统称 dark energy。
1.4.3 暗物质：给出物质分解 + 证据链（你要求逐条展开）
0）先给“成分数值”：物质 0.31 里我们懂的只有 0.05
讲义明确：
重子（原子物质）：(\Omega_B\approx 0.05)
冷暗物质：(\Omega_{\rm CDM}\approx 0.26)，强调“冷”= 今天非相对论、且早已如此；并直说“我们还没在地球上造出来”。
1）星系旋转曲线：(v(r)) 不降反平 → (M(r)\sim r)（暗晕）
讲义用球对称近似写： [ \frac{v^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2}\quad\Rightarrow\quad v(r)=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}} ] 若远离可见物质 (M(r)\to\text{const})，应有 (v\propto r^{-1/2})；但观测上 (v) 在很大 (r) 仍近似常数，因此推得 (M(r)\propto r)，即存在延展的暗物质晕；并提到用 HI 21cm 线测外盘速度。
2）维里定理（你点名要展开）：星系团“称重”与暗物质
(i) 维里定理本身：(\langle V\rangle +2\langle T\rangle=0)
讲义对引力相互作用体系给出完整推导框架：
定义“类转动惯量” (I=\frac12\sum_i m_i x_i\cdot x_i)，其导数 (\dot I=\sum_i p_i\cdot x_i) 被称为 virial
再求二阶导： [ \ddot I=\sum_i F_i\cdot x_i+2T ]
对牛顿引力势 (V=\sum_{i<j}-Gm_im_j/|x_i-x_j|) 可以证明 [ \sum_i F_i\cdot x_i=V ] 从而 (\ddot I=V+2T)
对时间平均，若系统束缚且相空间量有界，则 (\langle \ddot I\rangle=0)，得到 [ \langle V\rangle+2\langle T\rangle=0 ] 并强调必须以质心为原点，否则会有漂移项。
(ii) 用在星系团：把“不可直接称重”变成可观测量
讲义用 Zwicky 的 Coma 团为例，并做了两步近似：
取 (N) 个星系、等质量 (m)
“self-averaging”：用对星系样本的平均近似时间平均 [ \bar T \approx \langle T\rangle=\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N mv_i^2 ]
然后把维里定理写成“可测速度分散 + 典型距离”形式： [ 2\langle T\rangle \approx \langle V\rangle \approx \frac12,Gm^2N\Big\langle\frac{1}{r}\Big\rangle ] 进而得到星系团总质量 [ Nm \approx \frac{2\langle v^2\rangle}{G\langle 1/r\rangle} ] （讲义编号 (1.75)）。
观测上我们主要测视向速度 (v_{\rm redshift})，若近似球对称各向同性，则 (\langle v^2\rangle=3\langle v_{\rm redshift}^2\rangle)。
(iii) “维里质量 vs 光度质量”：暗物质结论从何而来
讲义接着强调：还有一种“更简单”的质量估算是用光度（数恒星、用 (M/L) 转换）；把两种质量对比，通常发现
维里质量 (M_{\rm vir}) 比光度质量 (M_{\rm lum}) 大 “几百倍”
缺口就是 Zwicky 所谓 Dunkle Materie（暗物质）。
3）引力透镜：直接测“总引力质量”，不靠发光
讲义说：透镜是 GR 的经典预言，既能产生强透镜（蓝色弧），也能用弱畸变精确反推团质量；而得到的质量仍远超可见物质。
子弹星系团：为什么它“戏剧性”且强指向暗物质弱相互作用
讲义对 Bullet Cluster 的论证非常标准，三层“物质成分”对照：
恒星/星系（可见）：两个子团清晰分离，因为星系之间直接碰撞概率很小
热气体（X-ray，粉色）：主要重子成分，团并合时强相互作用 → 被减速滞后，导致与星系位置错开
透镜质量（蓝色）：质量峰与星系子团对齐，像星系一样“几乎不受碰撞影响”地穿过。
讲义给出的物理解释是：暗物质与自身、与重子都相互作用很弱。其“杀伤力”在于：主要重子（气体）的空间分布与主要引力势源（透镜质量）发生了分离，这比“单纯缺质量”更难用“暗的重子天体”去糊弄。
4）BBN + CMB/结构形成：把“暗物质必须非重子”钉死
(i) BBN：重子总量只有“几个百分点”
讲义先承认：星系/星系团尺度的“缺质量”本身并不能断言暗物质一定是新粒子，因为可能是 failed stars（jupiters）等暗重子天体；但反证来自 BBN：轻元素丰度依赖重子密度，尤其氘对 (\Omega_b) 很敏感；由观测丰度约束得到：重子只占总能量密度的几个百分点。 这一步的逻辑是：既然宇宙里重子总量就这么多，那么暗物质不可能主要由“暗的重子”组成。
(ii) CMB/结构形成：只有重子来不及长出今天的结构
讲义把结构形成作为另一条“必须有非重子暗物质”的核心证据：
CMB 告诉我们早期涨落只有 (\delta\rho/\rho\sim 10^{-5})
但今天这些涨落变成星系团/星系/恒星，必须经历巨量增长
仅靠重子做不到：早期火球中重子与光子耦合，光子提供压力抑制引力塌缩；只有等光子解耦（约 30 万年）后才开始塌缩，但时间不够。
暗物质不与光子耦合、更早解耦，因此密度扰动可提前增长，先形成引力势阱，解耦后的可见物质再落入其中。
你要的“最终对照式总结”一句话版（便于你写笔记/PPT）
能量预算：(\Omega_\Lambda=0.69,\ \Omega_m=0.31)，其余 (\Omega_\gamma,\Omega_\nu,\Omega_k) 都很小。
暗能量问题：QFT 预测的真空能量尺度远大于观测 → 精细调节 + 相变稳定性；另有巧合问题与人择讨论。
暗物质证据：旋转曲线（平坦）→ 暗晕；维里定理称星系团 → (M_{\rm vir}\gg M_{\rm lum})（几百倍）；透镜尤其 Bullet Cluster 显示“主要引力质量与主要重子气体分离”→ 暗物质弱相互作用；BBN 给出重子只占几个百分点 + CMB/结构形成论证“无非重子暗物质则来不及长结构”
下面我按照**“你复述的主线”**来，帮你把 第 1.5 章（Inflation）系统地总结并补充完整，力求既不替你“背书”，又把物理逻辑补齐，适合作为你自己的学习检查稿。
第 1.5 章内容总结：Inflation（暴胀）
1. 暴胀的动机（Motivation）
本章首先回顾了为什么需要暴胀，核心动机来自两个经典宇宙学难题：
视界问题（Horizon problem）
CMB 在相距极远、在标准大爆炸模型下因果不相连的区域，呈现出几乎相同的温度；
暴胀通过在早期引入一段指数膨胀阶段，使得这些区域在暴胀前实际上曾经处于因果接触之中。
平坦性问题（Flatness problem）
Friedmann 方程显示，(\Omega = 1) 是一个不稳定固定点；
没有暴胀，今天接近平坦的宇宙需要极端精细调节初始条件；
暴胀通过快速膨胀，把任何初始曲率“压平”，自然驱动 (\Omega \to 1)。
➡️ 结论：只要暴胀持续得“足够久”，上述两个问题都能被自然解决。
2. 需要多“强”的暴胀？（How much inflation is enough）
这一部分定量回答了一个关键问题：
需要多少 e-folds 的暴胀？
结论是： [ N \gtrsim 50\text{–}60 ]
这意味着：
尺度因子 (a(t)) 至少增长 (e^{60}) 倍；
这已经足以把一个原本微小、因果相连的区域，拉伸成今天可观测宇宙的大小。
这里强调的是：
这不是一个精确数字，而是数量级要求；
与再加热温度、能标等细节有关，但不会偏差太多。
3. 暴胀场是什么？（Nature of the inflaton）
接着章节引入了一个核心假设：
暴胀是由一个标量场（scalar field）驱动的。
即所谓的 inflaton，其基本特征包括：
由一个标量场 (\phi) 描述；
具有某个势能 (V(\phi))；
在暴胀期间，场缓慢滚动（slow-roll），使得： [ p \approx -\rho ] 从而导致加速膨胀。
关键物理点：
加速膨胀来自于势能主导；
动能必须足够小（slow-roll 条件）；
这不是某个已知标准模型场，而是一个有效场论意义下的自由度。
4. 暴胀的能标与物理尺度（Energy scale）
本章还讨论了暴胀相关的典型物理尺度：
暴胀发生在极高能标： [ V^{1/4} \sim 10^{16},\text{GeV} \quad (\text{典型估计}) ]
接近 GUT 能标，但尚未被实验直接验证；
与张量扰动（原初引力波）幅度直接相关。
这里的重要思想是：
我们通过 CMB 各向异性间接探测这些极端能标；
暴胀是连接宇宙学与高能物理的关键桥梁。
5. 暴胀的成就：量子涨落（Quantum fluctuations）
章节的一个高潮在于指出：
暴胀最伟大的成功，并不是解决 horizon/flatness 问题，而是解释结构起源。
核心机制是：
暴胀场在滚动过程中不可避免地产生量子涨落；
这些涨落被迅速拉伸到超视界尺度；
在再进入视界后，成为：
CMB 的冷热斑；
星系和大尺度结构的种子。
这是一个极其大胆但成功的思想： [ \text{量子涨落} ;\longrightarrow; \text{CMB 各向异性} ;\longrightarrow; \text{宇宙结构} ]
6. 我们知道的与不知道的（What we know and don’t know）
本章最后采取了一个非常诚实的态度，强调暴胀的局限性：
我们知道的：
需要某种早期加速膨胀；
单场慢滚模型在 phenomenology 上非常成功；
量子涨落预测与 CMB 数据高度一致。
我们不知道的：
inflaton 的真实起源；
势能 (V(\phi)) 的具体形式；
暴胀是否是唯一可能的解释；
它如何与量子引力、弦论等终极理论衔接。
7. 暴胀 vs 当前加速：Quintessence 的讨论
最后，章节将视角扩展到当前宇宙加速：
当前加速是否也是某种标量场驱动？
这类模型被称为 quintessence；
但它们：
动机不足；
需要极端微小的质量尺度（(m \sim 10^{-33},\mathrm{eV})）；
并不能解决宇宙学常数的根本问题。
➡️ 强调： inflation 成功，但并不意味着“标量场解释一切”。
一句话版总结（你可以用来“自测”）
第 1.5 章系统介绍了暴胀理论的动机、实现方式和物理后果：暴胀通过一段由标量场驱动的早期加速膨胀，自然解决了视界和平坦性问题，并将量子涨落放大为 CMB 各向异性和宇宙结构的起源；同时，本章也坦率指出我们对 inflaton 的本质仍知之甚少，暴胀虽成功，但远非终极答案。
Last updated