251017-copolar and crosspolar
一、探测器偏振方向的物理意义
在偏振探测器中，每个通道对电场的某一线偏振方向最敏感。 例如，一个偏振敏感的吸收膜、天线或偏振片， 对与自身偏振轴平行的电场响应最强，对垂直方向理应没有响应。
但真实探测器不完美，对垂直方向仍然存在少量响应。 这就是：
Co-polar（共偏振）：探测器“主方向”上的理想响应；
Cross-polar（交叉偏振）：垂直方向上的泄漏响应。
二、形式定义
在波束覆盖的天空上某个方向 $\hat{r}_b$， 定义两个响应函数：
$$ P_{\parallel}(\hat{r}b) \quad\text{(co-polar)}, \qquad P{\perp}(\hat{r}_b) \quad\text{(cross-polar)}. $$
二者分别表示：
探测器对与偏振轴平行的电场分量的响应；
探测器对与偏振轴垂直的电场分量的响应。
通常有： $$ P_{\parallel}(\hat{r}b) + P{\perp}(\hat{r}_b) \approx 1. $$
三、定义偏振响应比 (P(\hat{r}_b, \hat{p}_t))
为了描述波束在不同方向上对偏振的净响应， 定义归一化量：
$$ P(\hat{r}_b, \hat{p}t) = \frac{P{\parallel}(\hat{r}b) - P{\perp}(\hat{r}b)} {P{\parallel}(\hat{r}b) + P{\perp}(\hat{r}_b)}. $$
其取值范围为 $[-1,1]$，代表了探测器的偏振效率：
$P = 1$
理想偏振响应（无交叉偏振泄漏）
$P < 1$
存在 cross-polar 泄漏，偏振测量受污染
$P = 0$
对两个正交方向响应相等 → 无偏振敏感性
四、偏振权重向量中的体现
在偏振测量的观测方程中，权重向量为：
$$
\mathbf{W}(\hat{r}_b, \hat{p}_t)
\begin{pmatrix} 1 \ \gamma , P(\hat{r}_b, \hat{p}_t)\cos 2\psi_t \ \gamma , P(\hat{r}_b, \hat{p}_t)\sin 2\psi_t \end{pmatrix}, $$
其中：
$\gamma = \dfrac{1-\epsilon}{1+\epsilon}$ 表示偏振效率；
$\epsilon$ 是交叉偏振泄漏比例；
$\psi_t$ 是该时刻探测器偏振轴相对于局部子午线的角度。
五、在观测方程中的角色
观测到的信号为：
$$ d_t = \int b(\hat{r}_b, \hat{p}_t) \Big[ I(\hat{r}_b)
\gamma , P(\hat{r}_b, \hat{p}_t) \big(Q(\hat{r}_b)\cos 2\psi_t + U(\hat{r}_b)\sin 2\psi_t\big) \Big] , d\Omega. $$
这说明：
$I$ 通道不受 cross-polar 影响；
$Q,U$ 通道的权重随 $P(\hat{r}_b, \hat{p}_t)$ 缩放；
若 cross-polar 泄漏大，则偏振灵敏度降低，系统误差增大。
六、在偏振有效波束中的出现
在偏振有效波束定义中， 偏振权重矩阵 $\mathbf{W}$ 出现在卷积核中：
$$
B_{ij}
\left[\sum_t A_{tp} \mathbf{w}_t \mathbf{w}t^{T}\right]^{-1} \sum_t A{ti} , b(\hat{r}_j, \hat{p}_t) , \mathbf{w}_t \mathbf{W}^{T}(\hat{n}_j, \hat{p}_t). $$
这里的 $\mathbf{W}$ 就包含了 $P(\hat{r}_b,\hat{p}_t)$， 因此偏振波束的 co-/cross-polar 差异会影响到最终的 $Q,U$ 卷积核形状与泄漏特性。
七、实际实验中的典型数值
Planck LFI/HFI
corrugated feedhorn + bolometer
< 0.5%
可忽略
ACTPol / SPTPol
lenslet + antenna array
≈ 1%
在仿真中建模修正
LiteBIRD
HWP + TES bolometer
≪ 1%
通过 HWP 调制平均化泄漏
八、直观理解（图像比喻）
想象天空上的一个偏振波束：
Co-polar 模式：主敏感方向的响应分布；
Cross-polar 模式：垂直方向的微弱泄漏分布。
二者的差值刻画了偏振纯度：
$$ P(\hat{r}b) = \frac{P{\parallel} - P_{\perp}}{P_{\parallel} + P_{\perp}}. $$
如果 $P_{\perp}$ 很小，说明 cross-polar 泄漏可忽略； 若两者接近，则说明探测器几乎“失去了偏振方向性”。
九、总结
Co-polar（共偏振）：探测器主偏振方向上的理想响应；
Cross-polar（交叉偏振）：与主偏振方向垂直的泄漏响应；
二者共同决定探测器的偏振纯度；
它们的差值归一化后定义为： $$ P = \frac{P_{\parallel} - P_{\perp}}{P_{\parallel} + P_{\perp}}, $$ 并出现在偏振权重向量与有效波束矩阵中；
Cross-polar 是偏振观测系统误差的主要来源之一， 特别是在高精度 $B$ 模测量中。
是否希望我在这一节后面再补一张 co-/cross-polar 响应模式的示意图（带偏振轴方向）？ 可以生成一张干净的灰度或伪彩色图，用来放在笔记里。
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