251105-R_fit value
📘 理论推导：二维高斯模板下的振幅误差
观测模型：
$$ \mathbf d = a,\mathbf t + \mathbf n, $$
其中噪声为零均值高斯随机场，协方差矩阵为 $C$。
广义最小二乘（GLS）最优估计：
$$ \hat a = \frac{\mathbf t^\top C^{-1}\mathbf d}{\mathbf t^\top C^{-1}\mathbf t}, \qquad \mathrm{Var}(\hat a) = \frac{1}{\mathbf t^\top C^{-1}\mathbf t}. $$
白噪声极限
若噪声为白噪声（$C = \sigma_{\rm pix}^2 I$）：
$$ \mathrm{Var}(\hat a) = \frac{\sigma_{\rm pix}^2}{\int t^2(\mathbf r), d^2r}. $$
二维高斯模板（峰值归一化）：
$$ t(r) = e^{-r^2 / (2\sigma^2)}. $$
在有限半径 $R$ 内的平方积分：
$$ \int_{r<R} t^2, d^2r = \pi\sigma^2 \left( 1 - e^{-R^2 / \sigma^2} \right). $$
因此振幅误差的理论表达式为：
$$ \sigma_a(R) = \frac{\sigma_{\rm pix}\sqrt{\Delta A}} {\sqrt{\pi\sigma^2!\left( 1 - e^{-R^2 / \sigma^2} \right)}}. $$
定义相对误差（相对于无限大区域）：
$$ \boxed{ \frac{\sigma_a(R)}{\sigma_a(\infty)} = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-(R/\sigma)^2}}}. } $$
按 FWHM 表示
高斯半高全宽为：
$$ \mathrm{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2},\sigma \approx 2.355,\sigma. $$
若拟合半径 $R = n \times \mathrm{FWHM}$，则：
$$ \frac{R}{\sigma} = 2.355,n, \qquad \frac{\sigma_a(R)}{\sigma_a(\infty)} = \frac{1}{\sqrt{1 - \exp[-(2.355n)^2]}}. $$
📊 理论预测 vs 实测结果（仅白噪声）
实验测得的振幅误差（无 CMB，仅白噪声）：
0.5×FWHM
1.15466
12.418
12.479
1.0×FWHM
1.00196
10.776
10.7745
1.5×FWHM
1.0000019
10.7548
10.7548
2.0×FWHM
1.0000000
10.7548
10.7548
2.5×FWHM
1.0000000
10.7548
10.7548
✅ 总结
理论结果： $$ \frac{\sigma_a(R)}{\sigma_a(\infty)} = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-(R/\sigma)^2}}}. $$
当半径达到约 $R \gtrsim 1\times\mathrm{FWHM}$ 时，误差已基本饱和；
1.5×FWHM 之后增大区域几乎不再改善误差；
实测结果与理论预言高度一致（差异 <0.5%），验证了二维高斯 + 白噪声模型的正确性；
在存在相关噪声时，平台位置会略向右移（约 1.5–2×FWHM），但白噪声下的理论仍是良好的基准。
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