0618-Newtonian-structure formation
✅ 球对称塌缩模型在宇宙学中的作用总结
🧠 基本思想：
球对称塌缩模型描述了：一个密度略高于平均值的球形区域，如何在宇宙膨胀背景中因自引力而塌缩形成结构。
🔁 塌缩全过程：
初始扰动（小密度涨落 δi≪1\delta_i \ll 1）
随宇宙膨胀线性增长 δ∝a\delta \propto a
非线性演化开始
球壳因引力变得“跑得比背景慢”
到达最大半径 → 转向点（turnaround，θ = π）
引力塌缩
球体收缩到 r=0r = 0，数学上密度 → ∞（θ = 2π）
物理实际中
不会收缩成点 → 实际会达到 动能 + 势能平衡（virial 化）
最终形成一个稳定结构：星系、暗物质晕等
📐 关键定量结果：
线性临界密度 δc\delta_c
≈ 1.686
结构“刚形成”时，线性理论预测的对比度
Virial 密度 ρvir/ρˉ\rho_{\text{vir}}/\bar{\rho}
≈ 178
塌缩后结构的平均密度（比背景）
转向点时非线性密度
≈ 4.55
达到最大半径时的真实密度增长
塌缩时间点
θ = 2π
球体数学上收缩到 r=0r = 0 的时刻
🎯 地位与应用：
⭐ 结构形成判断标准
用 δc=1.686\delta_c = 1.686 判定是否形成了 halo
⭐ Press–Schechter 理论
估算结构数量分布（质量函数）
⭐ N-body 模拟分析工具
定义 halo、判断何时形成结构
⭐ 非线性发展研究的起点
从线性 → 非线性结构的“桥梁模型”
✅ 总结一句话：
球对称塌缩模型是宇宙学中最基础、最重要的非线性结构形成模型，它用最简单的假设解释了：为何初始的微小扰动最终能长成我们今天看到的星系与大尺度结构。
好，我们现在从最基本的问题开始讲清楚：
🧠 你现在问的其实是：
什么是 σR\sigma_R？它和结构形成有什么关系？Press–Schechter 是什么？为什么会用它？
下面我一步步解释。
✅ 一、我们想解决的问题：
在宇宙中——
到底哪些地方会塌缩形成结构（星系团、暗物质晕等）？
多大尺度的结构会出现？
每种质量的结构有多少？
✅ 二、我们怎么判断“这个地方会塌缩”？
我们需要一个判据，那就是：
“这个地方的密度扰动够大（超过某个临界值），就会塌缩”。
数学表达就是：
δR>δc\delta_R > \delta_c
δR\delta_R：某个区域半径 RR 内的平均密度扰动（“光滑后”的密度）
δc≈1.686\delta_c \approx 1.686：球对称塌缩模型推出来的临界值
📐 三、那什么是 σR\sigma_R？
我们无法预测宇宙中每一个点的 δR\delta_R，因为它是个随机场。 我们能做的是：
看整个宇宙中 δR\delta_R 这个量的方差——也就是波动有多大：
σR2=⟨δR2⟩\sigma_R^2 = \langle \delta_R^2 \rangle
它告诉你：
在尺度 RR 的球体中，平均扰动典型值是多少
如果 σR≫δc\sigma_R \gg \delta_c，那大概率这些区域就塌缩了
如果 σR≪δc\sigma_R \ll \delta_c，塌缩区域很少
🧱 四、Press–Schechter 理论怎么做这件事？
它做了一个非常聪明的假设：
假设 δR\delta_R 是高斯分布，我们就可以计算“超过 δc\delta_c”的概率！
于是就有：
塌缩区域所占比例=∫δc∞12πσRexp(−δ22σR2)dδ=12 erfc(δc2σR)\text{塌缩区域所占比例} = \int_{\delta_c}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_R} \exp\left( -\frac{\delta^2}{2\sigma_R^2} \right) \mathrm{d} \delta = \frac{1}{2} \, \text{erfc} \left( \frac{\delta_c}{\sqrt{2}\sigma_R} \right)
这就是宇宙中质量 M∼R3M \sim R^3 的结构形成的概率！
📊 五、换成质量函数怎么用？
我们可以从这个概率推出每单位体积中，质量在 M∼M+dMM \sim M+\mathrm{d}M 的结构数量：
这就得到了Press–Schechter质量函数：
n(M) dM=ρˉM f(σM) ∣dlnσMdM∣ dMn(M) \, \mathrm{d}M = \frac{\bar{\rho}}{M} \, f(\sigma_M) \, \left| \frac{\mathrm{d}\ln \sigma_M}{\mathrm{d}M} \right| \, \mathrm{d}M
其中：
ρˉ\bar{\rho}：宇宙平均密度
σM\sigma_M：对应质量 MM 的扰动方差（从功率谱计算）
f(σ)∝δcσexp(−δc22σ2)f(\sigma) \propto \frac{\delta_c}{\sigma} \exp\left( -\frac{\delta_c^2}{2\sigma^2} \right)
这就是预测结构形成数量的关键公式！
📌 总结这套逻辑：
暴涨 → 初始扰动功率谱 P(k)
↓
计算 σ(M) = 各质量尺度上的扰动强度
↓
假设高斯分布 + δ_c 临界塌缩判据
↓
得到每种质量的结构形成概率
↓
→ 得到 halo 质量函数 n(M)这就完成了从初始涨落 → 非线性结构形成概率的连接桥梁。
云中云问题：
✅ 是的：Press–Schechter（PS）理论在原始形式中确实遗漏了一部分物理，必须修正。
下面我给你讲清楚遗漏了什么、为什么会出错、怎么修正。
🧱 问题出在哪？
❗原始 PS 只考虑了“密度超过 δc\delta_c”的区域
但它忽略了：
小尺度上密度超过 δc\delta_c 的区域，可能处在大尺度上密度没超过的地方。
这种“结构嵌在更大结构里”的情况，叫做：
云中云问题（Cloud-in-cloud problem）
📉 后果是什么？
原始 PS 模型只计算了：
P[δM>δc]=12 erfc(δc2σM)\mathbb{P}[\delta_M > \delta_c] = \frac{1}{2} \, \text{erfc}\left( \frac{\delta_c}{\sqrt{2} \sigma_M} \right)
这是总概率的一半，只算到了“第一次穿越”的一部分路径，漏了一半的结构。
🧪 所以 Press 和 Schechter 做了一个“临时补丁”：
直接乘 2
真实结构数量≈2×积分结果\text{真实结构数量} \approx 2 \times \text{积分结果}
你会在 PS 文献中看到这个因子 22，就是修正“云中云”问题的手动做法。
虽然这方法不优雅，但它能让质量守恒，并拟合观测数据。
🧠 更现代的处理方法：Excursion Set Theory（穿越集理论）
核心思路：
把不同尺度上的 δR\delta_R 看作随机游走过程
让塌缩判据 δc\delta_c 变成一个“吸收壁”
只记录第一次穿越 δc\delta_c 的尺度（避免重复计数）
数学上解决了“云中云”的统计错误
这就是 Bond et al. (1991) 提出的穿越集理论。
🧬 后续改进模型（Sheth–Tormen 等）：
考虑非球对称塌缩（ellipsoidal collapse）
修改 f(ν)f(\nu) 函数形状
拟合 N-body 模拟结果，更准确预测 halo 数量
✅ 总结一句话：
原始 PS 理论没考虑“云中云”的结构嵌套问题，导致低估结构数量，必须修正。现代理论用随机游走（Excursion Set）等方法解决这个问题，得到更准确的质量函数。
下面是从 Press–Schechter (PS) 理论 到 Sheth–Tormen (ST) 修正模型的总结说明
🧩 从 Press–Schechter 到 Sheth–Tormen 的结构形成模型总结
🧠 背景目标
Press–Schechter 理论用于预测宇宙中质量为 MM 的暗物质 halo 的数密度 dndM\frac{dn}{dM}，建立初始密度扰动与非线性结构形成的联系。
✅ Press–Schechter 理论要点
假设光滑密度场 δM\delta_M 是高斯分布：
P[δM]=12πσMexp(−δM22σM2)\mathbb{P}[\delta_M] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_M} \exp\left( -\frac{\delta_M^2}{2\sigma_M^2} \right)
假设若 δM>δc\delta_M > \delta_c（临界密度，球对称塌缩模型得出 δc≈1.686\delta_c \approx 1.686），区域将塌缩形成 halo。
得到塌缩概率：
P[δM>δc]=12 erfc(δc2σM)\mathbb{P}[\delta_M > \delta_c] = \frac{1}{2} \, \text{erfc}\left( \frac{\delta_c}{\sqrt{2}\sigma_M} \right)
引入无量纲变量 ν=δc/σ(M)\nu = \delta_c / \sigma(M)，定义 halo multiplicity function：
fPS(ν)=2πνe−ν2/2f_{\text{PS}}(\nu) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \nu e^{-\nu^2/2}
得到质量函数：
dndM=ρˉM2fPS(ν)∣dlnσdlnM∣\frac{dn}{dM} = \frac{\bar{\rho}}{M^2} f_{\text{PS}}(\nu) \left| \frac{d\ln \sigma}{d\ln M} \right|
⚠ PS 理论的问题
假设结构塌缩为完美球对称，不符合实际（真实 halo 是椭球形，受剪切扰动）
在高质量端（大 ν\nu）低估结构数量，在低质量端也不够准确
没有考虑环境依赖（如 tidal shear）
✅ Sheth–Tormen 模型的修正
Sheth & Tormen (1999) 基于椭球塌缩模型，提出经验拟合的修正 multiplicity function：
fST(ν)=A2aπ[1+(aν2)−p]νexp(−aν22)f_{\text{ST}}(\nu) = A \sqrt{\frac{2a}{\pi}} \left[1 + (a\nu^2)^{-p} \right] \nu \exp\left( -\frac{a\nu^2}{2} \right)
A≈0.322A \approx 0.322（归一化系数）
a=0.75a = 0.75：控制指数衰减速度
p=0.3p = 0.3：控制低质量增强幅度
✅ ST 模型的优势
在高质量端抑制更慢，拟合 N-body 模拟更好
在低质量端数量上升幅度更合理
可导出更加精确的 halo bias 公式
📌 总结对比（PS vs ST）
塌缩模型
球对称
椭球（经验修正）
mass function
∝νe−ν2/2\propto \nu e^{-\nu^2/2}
修正项 + 指数更慢衰减
参数自由度
无
A,a,pA, a, p：拟合得到
精度
粗略估计
精确拟合 N-body 模拟
bias 预测
有偏差
精确 bias 模型可导出
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